一个美丽的发现：由secx和cscx的原函数以及它们原函数的相反数构成的美丽彩虹画卷

2023-08-24 11:41:22 来源：哔哩哔哩

一.近期的偶然发现

最近几天在翻阅一本微积分的书籍，发现书里有一道习题，要求的导数，那就求呗，本以为是一道平平无奇的求导问题，结果一计算

发现没有，结果竟然是正割函数！我们在背积分表的时候，书里一般是告诉我们，我在原创文章第一篇算出来的也是这个结果。

那么这就抛出了一个问题：吗？还是这两者之间会相差一个常数，即？


(资料图片仅供参考)

二.开启验证

带着上面的问题，我开始了验证之路。回顾一下，在我的原创文章第二篇中，我们知道，由于是一个复合函数，只要将替换成即可，得到。先把这个暂且搁置一边，我们来看，对绝对值里面的内容进行平方，得到

再对等式两边开根号处理，就得到，因此成立，到此也就验证完毕了。

三.开启举一反三

既然的原函数是，那么的原函数也能很快地求出来，就是，我在画函数图像的网站desmos画出了上面两个原函数的图像，又加上了它们的相反数，于是就形成了一幅美丽的彩虹画卷

上图中，红色曲线代表，蓝色曲线代表，紫色曲线代表，绿色曲线代表。

四.探寻彩虹函数的性质

可以发现，上面四种颜色的曲线形状都是一样的，那意味着一条曲线可以通过平移得到另一条曲线。下面我来展示一下如何通过平移得到彼此：

1.红紫：意味着红色曲线向右平移个单位得到紫色曲线

2.红蓝：

意味着红色曲线向右平移个单位得到蓝色曲线，同时他们两个又是互为相反数

3.红绿：

，意味着红色曲线向左平移个单位得到绿色曲线

4.紫蓝：，意味着紫色曲线向右平移个单位得到蓝色曲线

5.紫绿：

，意味着紫色曲线向左平移个单位得到绿色曲线，同时他们两个又是互为相反数

6.绿蓝：

，意味着绿色曲线向左平移个单位得到蓝色曲线

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